TEMA No. 13
INTERÉS COMPUESTO CON CAPITALIZACION CONTINUA
Objetivos :
1. Evaluar monto a interés compuesto cuando m crece sin límite.
2.Verificar que el valor del monto cuando la capitalización se hace en forma instantánea es mayor que en cualquier otro caso.
Conocimientos Previos
Desarrollo :
Sea ( 1 + 1/n )n el término general de una sucesión infinita
a1 = ( 1 + 1/1 )1 = 2
a2 = ( 1 + 1/2 )2 = 2.25
a3 = ( 1+ 1/3 )3 = 2.370370193
a4 = ( 1 + 1/4 )4 = 2.44140625
.
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.
a10 = ( 1 + 1/10 )10 = 2.59374246
.
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a50 = ( 1 + 1/50 )50 = 2.691588029
.
.
.
a100 = ( 1 + 1/100)100 = 2.704813829
Si n crece sin límite ( n ® a )
an = ( 1 + 1/n )n = e @ 2.718
Recordemos que :
S = P ( 1 + i )n , pero como, i = J/m y n = m.t
se tiene :S = P ( 1 + J/m )m.t
S = P [ 1/(1/M/J) ]m.t
S = P { [ 1/(1/M/J] m/j } J.t
Al crecer sin limite la m, m/J crece también sin límite y [ 1/(1/M/J] ® e
Por lo tanto:
S = P e J.t
J es tasa nominal que capitaliza en forma anual
J C A » i EA
S = P e i.t, con t contabilizado en años.
Problema 1
Evalúe el monto producido por 2.000.000 a interés compuesto con capitalización continua, si la tasa i = 12% durante 4 años.
Solución :
S = P e i.t
S = 2.000.000 e 0.12(4)
S = 2.000.000 (1.616074402)
S = 3232148.804
S = 3232148.80
Problema 2
Evalúe el monto producido por 2.000.000 al 12% EA durante 4 años.
Solución :
S = P ( 1 + i )n
S = 2.000.000 ( 1 + 0.12 )4
S = 2.000.000 (1.57351936)
S = 3147038.72
Observemos que el monto en este problema es menor que en el primero, en el cual la capitalización se hace en forma CONTINUA.
Problema 3
Hallar el monto de 10.000.000 de pesos en 20 años : (i) a la tasa efectiva del 12% anual (ii) a la tasa del 12% con C.M. (iii) a la tasa del 12% con capitalización continua.
Solución :
S = 9646293,093
S = 9646293,09
S = 10.000.000 ( 1 + 0.01 )240
S = 10892553,65
S = 11023176.38
Observe que el monto en el tercer caso es mayor que en el primero y en el segundo.
A medida que crece el valor de la frecuencia de capitalización el monto cobra mayores valores.
Capitalizar en forma mensual producirá un monto mayor que si capitalizara en forma semestral conservando plazo y capital inicial.
Problemas de Aplicación
Problema 1 :Determine el monto producido por 1.500.000 pesos al 15% de interés compuesto con capitalización continua durante 10 años.
Problema 2 :Un capital P produce un monto de 8.000.000 de pesos en 5 años al 10% de interés compuesto con capitalización continua. Hallar P
Problema 3 : Evalúe el monto de 2.000.000 de pesos al cabo de 10 años i) si i=20% EA, ii) si J = 20% CS, iii) si J = 20%CT, iv) si i = 20% con capitalización continua.
Problema 4 :Halle la tasa efectiva anual, que, con capitalización continua al cabo de 5 años, hace que 1.000.000 de pesos se conviertan en 3.000.000
Problema 5 :Determine el monto producido por un capital de 2.000.000 de pesos durante 4 años, efectuados por (i) una tasa J = 36% CS, (ii) si capitaliza continuamente
Bibliografía
1. Ingeniería Económica
Guillermo Baca
Editorial Educativa
2. Matematicas Financieras
Alberto Cardona
Editorial Interamericana