TEMA No. 12
TRANSACCIONES CON INTERÉS COMPUESTO
Objetivos :
1. Determinar el monto de una operación afectada con interés compuesto.
2. Establecer el tiempo que tarda un capital P en convertirse en un monto S afectada por una tasa de interés efectiva I.
3. Establecer tasas equivalentes de interés.
4. Combinar tasas de interés.
Conocimientos Previos :
1. Función Exponencial.
2. Interés Simple.
3. Propiedades de los Logaritmos.
Desarrollo :
Definición 1 : Tasa Nominal
Es una tasa de referencia que usualmente se establece para período de un año y que no se utiliza en las relaciones matemáticas. Siempre aparece como una expresión aclaratoria que indica cómo se van a liquidar y a sumar los intereses al capital inicial. Se denota con J. J = 36% CM, significa tasa nominal del 36% capitalizando por meses.
Definición 2 : Frecuencia De Capitalización
Es la cantidad de oportunidades en que se capitalizarán los intereses en el período para el cual está dada la tasa nominal.
Se designa con m.
Si tengo J = 36% CM en el año se capitalizarán los intereses 12 veces, así que: m = 12.
Definición 3 : Tasa Efectiva Periódica
Es la tasa que efectivamente se cobrará por período de capitalización. Se le llama también Ordinaria porque su liquidación se hace al final de cada período. Se denota con i.
i = J/m = 36%/12 = 3% EM
Esta es la tasa efectiva mensual que se deriva de la nominal del 36% CM.
Definición 4 : Capital Inicial o Valor Presente
Es el valor del capital o del bien al iniciar una operación, o sea en pesos de período cero. Se designa con P.
Definición 5 : Monto o Valor Futuro
Es el valor del capital o del bien después de n períodos. Se designa con S
Fórmula 1 :S = P ( 1 + i )n.
Esta es la Fórmula para monto o valor futuro en interés compuesto donde i (tasa efectiva) y n (cantidad de períodos) deben ser de la misma especie. Esto quiere decir que si estamos capitalizando por semestres, la tasa efectiva debe ser semestral.
Fórmula 2 :P = S ( 1 + i )- n .
Esta Fórmula es para establecer el valor presente P de un monto S, n períodos antes. Es la expresión que se usa si vamos a hacer traslados hacia la izquierda en la línea de tiempo y valor.
Definición 6 : Tasas Equivalentes De Interés
Son las que producen, con el mismo capital inicial, en el mismo plazo los mismos montos aunque los períodos de capitalización sean diferentes.
Fórmula 3 : S1 = S2
1 peso ( 1 + i1 )n1 = 1 peso ( 1 + i2 )n2
( 1 + i1 )n1 = ( 1 + i2 )n2
i1 ~ I
Observación Importante :
La Fórmula de monto S en interés compuesto corresponde a una función exponencial de S contra n (cantidad de períodos en el plazo).
Puede observarse que el crecimiento del Monto con interés compuesto es más rápido que con interés simple.
No sobra recordar que en operaciones con interés simple el capital inicial permanece constante durante el plazo, mientras que con interés compuesto el capital va siendo incrementado con los intereses generados período a período.
Definición 7 : Tasa Anticipada De Interés
Es el rendimiento que se cobra por 100 pesos al inicio de un período, si la tasa es porcentual, o el rendimiento de 1 peso por período cobrado en forma anticipada si la tasa es unitaria.
Se denota por ia .
Fórmula 4 :Tasas Anticipadas Equivalentes A Tasas Ordinarias
i = ia / 1 - ia ia = i / 1+ i
Estas Fórmulas pueden ser usadas cuando se trate de hallar tasas ordinarias equivalentes a tasas anticipadas para el mismo período (mes, bimestre, semestre, año, etc).
Definición 8 : Tasas Combinadas De Interés
Cuando un capital rinde beneficios por diferentes conceptos y cada concepto establece su propia tasa efectiva ii , se puede determinar la tasa i que produzca un rendimiento equivalente a la combinación de todas las ii s.
Fórmula 5 : Para Combinar 2 Tasas :
i = i1 + i2 + i1 x i2
Para combinar 3 tasas :
i = i1 + i2 + i3 + i1 x i2 + i1 x i3 + i3 x i2 + i1 x i2 x i3
Problema 1
Evalúe el valor del Monto de un capital de 3.000.000 de pesos afectados por una tasa nominal J del 40% CT, al cabo de 2 años.
Solución :
P = 3.000.000 (Capital Inicial)
J = 40% CT (Tasa nominal que convierte trimestralmente).
m = 4 (hay 4 trimestres en el año)
i = 40% / 4 = 10% ET (Tasa Efectiva Trimestral)
n = 8 (Hay 8 trimestres en 2 años)
S = P ( 1 + i )n
S = 3.000.000 ( 1 + 0.10 )8
S = 6.430.766,43
Problema 2
En cuánto tiempo se duplica un capital afectado por una tasa del 36% CM ?
Solución :
P = 1 peso
S = 2 pesos
J = 36% CM
m = 12 meses
i = 36% /12= 3% EM
S = P ( 1 + i )n
2 = 1 ( 1.03 )n
2 = ( 1.03 )n
Log 2 = Log ( 1.03 )n
Log 2 = n Log ( 1.03 )
0.301030 = n ( 0.012837 )
23.450183 = n
n = 23 meses con 14 días.
Problema 3
Halle una tasa efectiva semestral que sea equivalente a una efectiva anual del 30%.
Solución : ( 1 + i1 )n1 = ( 1 + i2 )n2
Consideremos un plazo de un año.
i1 : Tasa efectiva trimestral
n1 : 4 períodos
i2 : Tasa efectiva anual
n2 : 1 período
( 1 + i1 )4 = ( 1 + 0.30 )1
( 1 + i1 )4 = 1.30
1 + i1 = 4Ö 1.30
1 + i1 = 1.067789972
i1 = 0.067789972
i1 = 6.78% ET
6.78% ET ~ 30% EA
Problema 4
Determine la tasa anual anticipada equivalente al 3% efectivo mensual.
Primero hallaremos la efectiva anual equivalente al 3% efectivo mensual.
Solución :
( 1.03 )12 = ( 1 + i2 )1
1.425760887 = 1 + i2
0.425760887 = i2
i2 = 42.58% EA
ia = 0.425760887
1 + 0.425760887
ia = 0.298620119
ia = 29.86% EAA
42.58% EA ~ 29.86% EAA
Problema 5
Halle el pago único que cancele en el mes 5, dos deudas : la primera de 1.000.000 con vencimiento en el mes 7 y una tasa J = 36% CM, la segunda de 2.000.000 en el mes 4 y una tasa J = 30% CM. Use una tasa del 28% CM para los traslados.
Solución :
S1 = 1.000.000 ( 1.03 )7 = 1.229.873,865
S2 = 2.000.000 ( 1.025 )4 = 2.207.625,781
å Deudas = å Pagos ( en ff )
i i
2.207.625,781 ( 1.023333 )1 + 1.229.873,865 (1.023333)-2 = X
2.259.137,049 + 1.174.428,588 = X
3.433.565,637 = X
Las deudas se cancelan con un pago único de 3.433.565,64 hecho en el mes 5.
El anterior es un ejemplo de problema que se resuelve planteando una
Ecuación de Valor.
Problemas de Aplicación
Problema 1 : Halle S si P = 300.000, J = 40% CB, plazo 3 años
Problema 2 : Halle la tasa i si 500.000 se convierten en 1.500.000 en
el término de 3 años (tasa efectiva anual).
Problema 3 : Halle el tiempo para que 2.000.000 de pesos produzca un monto de 2.800.000 pesos, si J = 36% CM
Problema 4 : Halle una tasa nominal que capitalice por trimestres sea equivalente al 36% CS.
Problema 5 : Halle una tasa nominal mes anticipado equivalente a una del 40% CT.
Problema 6 :Halle una tasa efectiva bimestral equivalente a una nominal del 30% CS.
Problema 7 :Dos deudas : la primera de 500.000 con vencimiento en el mes 12 y la segunda con vencimiento en el mes 15, van a ser canceladas con 3 pagos iguales hechos en el mes 5, 10 y 15 respectivamente. Halle el valor de los pagos iguales. Use J = 36% CM para los traslados a la fecha focal.
Problema 8 :Halle el valor de P que produce un monto S de 10.000.000 en 3 años al 24% CS.
Problema 9 :Suponiendo una tasa de corrección monetaria del 19% EA para el mes de Septiembre y del 20% EA para Octubre y que el valor de la UPAC el 25 de Septiembre es de 9200 pesos. Cuánto valdrá la UPAC el 30 de octubre del mismo año ?
Bibliografía
1. Ingeniería Económica
Guillermo Baca
Editorial Educativa
2. Matemáticas Financieras
Alberto Cardona
Editorial Interamericana